Són òptimes les llaunes de refresc? (2)

Fa un temps vaig publicar una entrada on analitzava, des del punt de vista matemàtic, la construcció i l'optimització de recursos a l'hora de construir llaunes de refresc. Tot des d'un punt de vista molt teòric. Però vaig caure en l'error de no intentar abordar el problema des d'un punt de vista més pràctic, i això m'ho va fer veure l'amic i professor Joan Gómez.

L'exercici ja està ben resolt, però no s'ha tingut en compte un detall molt important. A la realitat, el gruix de llauna de les dues tapes és aproximadament el triple (en el cas de la llauna més alta, doble en l'altre cas) que el gruix del cilindre. Per tant, si això es té en compte resulta que les llaunes construïdes actualment sí que són òptimes.

Vegem com canvia el resultat si tenim tot això en compte:

• llaunes-2

Terme general de la successió de Fibonacci

En aquest document vull donar una idea del que he trobat com un fet sorprenent: que en el terme general d’una successió com la de Fibonacci, de nombres naturals, hi aparegui un nombre irracional.

Leonardo Pisano, més conegut com Fibonacci, va ser un dels matemàtics més destacats de l'Edat Mitjana. Fibonacci va escriure obres de geometria, àlgebra i teoria de nombres, de la que fou un pioner, però la més coneguda tracta sobre el càlcul. El Liber abaci, publicat el 1202, té un títol enganyós, una espècie d'ironia, perquè justament en ell es mira de demostrar els avantatges de les xifres àrabs per al càlcul vers els mètodes habituals a la Itàlia de l'època, on els abacistes feien servir l'àbac i els vells nombres romans.

A més de l'ús de les xifres i dels mètodes de càlcul, el Liber abaci aborda la teoria de nombres (descomposició en factors primers, criteris de divisibilitat...), conté problemes d'àlgebra de primer grau i parla de comptabilitat mercantil. Però el problema més conegut del llibre és el famós problema dels conills, la solució del qual és el que avui dia coneixem per la successió de Fibonacci.

El problema està enunciat de la següent forma: quantes parelles de conills tindrem a final de l'any si comencem amb una parella que produeix cada mes una altra parella que procrea a la vegada als dos mesos de vida?

Per a resoldre el problema, Fibonacci va fer una taula, que nosaltres podem veure com a successió: cada terme és el nombre de parelles que hi ha al mes n.

{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...}

Aquesta és una successió que s'anomena recurrent, on cada terme es pot obtenir sumant els dos termes anteriors. Però i si volem el terme que fa 100? Haurem de trobar els termes 99 i 98, i per a trobar aquests, els termes 97, 96, etc. fins al primer? Doncs la resposta, afortunadament, és no. És possible trobar un terme general d'aquesta successió que només depengui del lloc que ocupi el terme que volem calcular.

I la fórmula és la següent:

on "phi" és el nombre d'or, un nombre irracional, que és el que fa curiós aquest resultat. Una fórmula que conté nombres irracionals, ens dóna tots els termes (naturals) de la successió de Fibonacci.

Podeu veure tots els detalls en el següent pdf:

• Terme general de la successió de Fibonacci

Quadrats perfectes i nombre de divisors

L'altre dia em van deixar anar el següent comentari:

"Un quadrat perfecte té un nombre imparell de divisors."

Immediatament vaig pensar que això no era trivial i que calia pensar-hi amb una mica més de calma. Està clar que un nombre primer només té 2 divisors, l'1 i ell mateix. Aleshores el quadrat d'un primer tindrà 3 divisors: l'1, el primer, i el quadrat d'aquest primer.

Div(25)={1,5,25}

Div(49)={1,7,49}

Perfecte, sembla que funciona. Ja es compleix l'afirmació per infinits nombres. Però no n'hi ha prou. Mirem altres quadrats:

Div(36)={1,2,3,6,12,18,36}

Div(64)={1,2,4,8,16,32,64}

Aquests no són primers però són quadrats perfectes i també funciona. És clar, però, que aquesta comprovació no és cap demostració. De seguida vaig pensar si l'afirmació era recíproca, és a dir, si qualsevol nombre amb un nombre imparell de divisors és un quadrat perfecte. Això tampoc és gens intuïtiu, i és el que em va decidir a intentar demostrar-ho.

La resposta és afirmativa. És més, podem dir el següent:

"Un nombre és quadrat perfecte si i només si té un nombre imparell de divisors"

Deixo aquí el document pdf amb la demostració amb tots els detalls.

Aquest resultat pot ser d'utilitat no només a nivell universitari, sinó que es pot aplicar en problemes com ara el problema de les portes (2n ESO), del qual parlaré més endavant, i que diu el següent:

"Un hotel té 100 habitacions numerades de l'1 al 100. Al matí totes les portes són tancades i el vigilant número 1 passa i les obre totes. Llavors passa el vigilant número 2 i tanca les portes múltiples de 2. Després passa el vigilant número 3 i canvia les portes múltiples de 3: si estaven obertes les tanca i si estaven tancades les obre. Així successivament amb tots els vigilants fins al vigilant número 100. La pregunta és: quines portes quedaran obertes després de passar el vigilant número 100?"

Examen de matemàtiques resolt. Selectivitat 2014

Aquest és l'examen de matemàtiques de juny (modalitat científico-tècnic) de la selectivitat 2014.

• Examen de matemàtiques. Juny 2014. Enunciat - Correcció

Examen de matemàtiques aplicades a les ciències socials resolt. Selectivitat 2014

Aquest és l'examen de juny de 2014 de matemàtiques aplicades a les ciències socials, amb la correcció.

• Examen matemàtiques aplicades a les ciències socials - Juny 2014 - Enunciat - Correcció

Valor numèric d'un polinomi

La següent proposta és un exercici trobat en un examen de 1r de batxillerat. No és que sigui dels més fàcils i com que m'ha cridat l'atenció deixo aquí l'enunciat i la solució en pdf.

Sigui p(x) el següent polinomi amb coeficients enters:

Sabent que p(2000)=0, quant val c: 9000, 6000, 3000, 2001 o 1999?

Solució: clic aquí

Són òptimes les llaunes de refresc?

Tots hem vist els dos tipus de llaunes de refresc que hi ha avui dia. El model antic, per dir-ho d'alguna manera, és una llauna més baixa i més xata. El model nou, normalment només en bars i restaurants, més alta i estreta.

Se'ns pot ocórrer la pregunta de per què es va introduir aquest nou model. I arran d'aquesta pregunta, la pregunta següent és: quines serien les dimensions òptimes d'una llauna de refresc? Per òptim, entenem les mides d'una llauna amb la mateixa capacitat però fent servir el mínim material. Intentem contestar aquestes preguntes en el següent article.

• Són òptimes les llaunes de refresc?